首頁/我的數學沒有猜想,只有定理!/第645章 霍奇猜想(2)
我的數學沒有猜想,只有定理!_第645章 霍奇猜想(2)

最初,數學界並非沒有看到過曙光。

早在1924年,所羅門·萊夫謝茨就證明了萊夫謝茨 (1,1) 類定理——它比猜想本身還早二十多年,併成為霍奇提出猜想時的重要動機。這個定理順手解決了低維情況:霍奇猜想在曲線和曲面(即一維和二維情形)下是成立的。至少,這個猜想在低維情況下不是假的。數學界看到了一線希望。

但隨後的進展,幾乎陷入了停滯。

面對這座久攻不下的堡壘,數學家們的老毛病犯了——既然在原定的範圍裡找不到突破口,那不如把它“推廣“一下試試?

霍奇最初提出猜想時極其謹慎,把範圍死死限定在“射影複流形“上。你可以把它理解為數學宇宙裡一座規則森嚴的“代數內城“,裡面的每一個幾何結構,都必須由絕對嚴謹的多項式方程一筆一畫刻畫出來。

但數學家們心想,外面的世界那麼大,那些包容性更強、沒有純正代數血統的“外野世界“(比如卡勒流形),沒準也能適用霍奇猜想呢?

於是,他們興沖沖地把猜想往外推廣。

結果剛一齣城,就迎頭撞上了死神。

在那些推廣出去的版本里,反例像雨後春筍一樣冒了出來。

1969年,美國數學家大衛·芒福德在研究高維阿貝爾簇時,構造了一個四維阿貝爾簇的例子。在這個例子中,存在一些霍奇類無法由除子類的乘積生成。這個反例雖然沒有推翻整個猜想,但它宣告了低維證明技巧的全線失效。低維情況下行之有效的 (1,1) 判據,到了四維及以上便不再管用。在高維情況中,霍奇類和代數閉鏈之間,可能存在著某些我們還未理解的障礙。

然後,1961年,剛才提到的那位阿蒂亞和希策布魯赫聯手,直接用K理論砸碎了霍奇猜想的“整係數強形式”。

這一連串反例,逼得整個數學界只能狼狽地退守到最初的原始版本。

而即便是這個最保守的版本,至今也仍然沒有被證明。

……

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