“在四維時空 X 中,渦量不再是三維的向量,而是對應著一個閉的 2-形式 Ω。渦旋拉伸的本質,在四維幾何中意味著什麼?”
徐辰閉上眼睛,在腦海中瘋狂構建這個超越人類直觀視覺的四維高維圖景。
“對應著……四維葉狀結構中,相鄰‘葉片’之間的距離被無限擠壓!”徐辰睜開眼睛,眼中閃過一道光。
在三維中,渦管被拉細;但在四維時空的琥珀裡,這表現為代表流線的“葉片”在某個區域性區域發生了極度的密集。拉得越狠,葉片捱得越近。一旦突破極限,葉片就會發生“拓撲重疊”,也就是微分拓撲中所謂的“秩的退化”。
打個比方,這就好比是一本書,在某種狂暴力量的擠壓下,某幾頁紙被無限壓薄,最終“啪”的一聲,幾頁紙粘死在了一起,書頁的結構被徹底破壞,產生奇點。或者用科幻一點的說法,這就像是《三體》裡的二向箔打擊。三維流體在時間的演化中,某些區域性的渦管被無限拉伸,最終在四維時空的視角下,發生了維度的坍塌。
“如果我能證明,這個四維葉狀結構在任何區域性區域,其法向叢的秩都不會退化,那就意味著渦旋拉伸不會導致奇點!”
……
徐辰的思路越來越清晰。他開始用霍奇理論和德拉姆上同調的工具,來分析這個四維葉狀結構的法向叢性質。
他寫下了一個關鍵的積分等式:
∫X |Ω ∧ Ω| dV_X = ∫{?X} (Ω ∧ dΩ) + ∫_X ν|dΩ|2 dV_X
這個等式的左邊代表四維時空中整個“葉片“結構的曲率能量;右邊第一項是邊界上的能量通量,第二項則是粘性耗散項。
“如果我能證明這個積分被某個初始能量項所控制……”徐辰繼續推導。
……
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